中国教育在线

在行测考试数学运算中，青蛙跳井问题是困扰我们很多考生的难题，同时，青蛙跳井问题灵活多变，可以与行程问题、工程问题相结合，增加了题目难度，常使很多考生无从下手，下面中公教育专家结合具体的例子给大家做一详细的讲解，让大家掌握该题型的解题方法，一分钟内即可解决青蛙跳井问题。

一、基本青蛙跳井问题

我们先由一道简单的例题认识一下青蛙跳井问题。

例题：现有一口高10米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度为5米，由于井壁比较光滑，青蛙每跳5米下滑3米，这只青蛙跳几次能跳出此井？

    A.4       B.5       C.6      D.7

【中公解析】B。

 方法一：枚举法

此题比较简单，可以通过枚举法快速得到答案，但仅仅用该方法显然不能满足目前考试的需要，因为实际考试中，数据可能会较大，枚举过于耗时，枚举情况过多时也容易马虎出错，所以在此讲述此方法主要是为了便于大家理解青蛙跳井的整个过程。

青蛙跳井问题关键特征：周期性、周期内有正有负。

我们讲这个例子主要是为了得出针对此类问题，简单但适用性更强的解题方法-不定方程。

    方法二：不等式法

先来分析一下青蛙跳井问题，青蛙不停地上跳下滑，一直在做周期性运动，我们可以把上跳1次下滑1次看做1个周期；不管最终青蛙跳几次才能跳出此井，有一点是确定的，第一次跳出井口的时，它是在上跳的过程中，而不可能是在下滑的过程中，那么扣除最后1次跳出井口，其它恰好是完整周期，当最后一次下滑后，青蛙距离井口的高度≤跳1次能完成的高度时，青蛙再跳1次，即可跳出井口。

以此题为例，我们假设青蛙运动x个周期后，再跳1次，即可跳出井口。

青蛙每运动1周期能上移2m，运动x个周期后，上移（2x）m，此时距离井口的高度为10-2x≤5，解得x≥2.5，所以x=3，也就是青蛙运动3个周期后，再跳1次，即可跳出井口，与我们前面枚举法做出来的结果相同，但就通过解不等式，就省却了枚举的过程，计算量小，用时短，不易出错。 

    总结一下解题方法：

1.找到周期。分析每周期情况：上跳1次下滑1次为1周期，每周期完成高度2m，每周期完成高度的最大值5m。

2.解不等式。假设青蛙运动x个周期后，再跳1次，即可跳出井口。运动x个周期后剩余高度=总高度-每周期完成高度×x≤每周期完成高度的最大值，解出周期数。

3.计算次数。x个周期所用次数+x个周期后剩余高度所用次数，两部分分别计算相加。   

再来做一题，练习一下不等式法解决青蛙跳井问题。

例题：现有一口高40米的井，有一只青蛙坐落于井底，青蛙每次跳的高度为4米，由于井壁比较光滑，青蛙每跳4米下滑1米，这只青蛙跳几次能跳出此井？

A.11    B.12    C.13    D.14 

【中公解析】C。

1.找到周期。分析每周期情况：上跳1次下滑1次，每周期完成高度3m，每周期完成高度的最大值4m。

2.解不等式。假设青蛙运动x个周期后，再跳1次，即可跳出井口。运动x个周期后剩余高度=40-3×x≤4。解出x≥12，所以运动了12个周期。

3.计算次数。12个周期所用次数12次+12个周期后剩余高度所用次数1次=13次。

二、青蛙跳井与工程问题相结合--增减交替合作求时间

在行测考试中，青蛙跳井问题常与工程问题结合，虽然看似题目的难度增大了，但其实只是题目表面变花哨，只要我们看出题目的本质为青蛙跳井问题，利用不等式法，仍可快速解答。

例题：一个水池有甲乙两个进水管，一个丙出水管，单开甲管6小时注满；单开乙管5小时注满；单开丙管3小时放完；水池原来是空的，如果按照甲乙丙的循环轮流开放三个水管，每轮中各水管均开放1小时，那么经过多少小时后水池的水注满？

A.59     B.60     C.79     D.90

【中公解析】A。假设水池总水量I=30，则甲管的效率是5，乙管的效率是6，丙管的效率是-10。

    此题中，水管一直在做周期运动，甲乙丙依次开放1h为1周期，周期内有正有负，此题为典型的青蛙跳井问题。同样，水池注满时应该是在甲或者乙管注水时，

1.找到周期。分析每周期情况：甲乙丙依次开放1h为1个周期，每周期完成注水量1，每周期完成注水量的最大值11。

2.解不等式。假设x个周期后，甲或者乙再注水若干，即可注满水池。x个周期后剩余水量=总水量-每周期完成注水量×x≤每周期完成注水量的最大值。30-1×x≤11，x≥19，所以注水19个周期，19个周期后剩余水量11。

3.计算时间。19个周期所用时间19×3h+19个周期后剩余水量所用时间2h（甲乙各注水1小时）=59h。

三、青蛙跳井与行程问题相结合--快慢交替追及求时间

例题：甲乙两人计划从A地步行去B地，乙早上7:00出发，匀速步行前往，甲因事耽搁，9:00才出发。为了追上乙，甲决定跑步前进，跑步的速度是乙步行速度的2.5倍，但每跑半小时都需要休息半小时，那么甲什么时候才能追上乙？

    A.10:20    B.12:10    C.14:30    D.16:10

【中公解析】C。设乙的速度是2，则甲的速度是5，乙早出发2h，甲出发时，甲乙两人相距4，甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小时都需要休息半小时，则前半小时，甲比乙多跑5×0.5-2×0.5=1.5，后半小时，甲比乙多跑0-2×0.5=-1，每1小时为1个周期，周期内有正有负，此题为典型的青蛙跳井问题。同样，甲追上乙，应该是在前半个小时，甲在跑步过程中追上乙。

    1.找到周期。分析每周期情况：前半小时，甲比乙多跑1.5，后半小时，甲比乙少跑1。每周期甲比乙多跑0.5，每周期甲比乙最多多跑1.5。

    2.解不等式。假设x个周期后，甲在前半个小时跑步时追上乙，x个周期后剩余距离=总距离-每周期追上距离×x≤每周期甲比乙多跑的最大值。4-0.5×x≤1.5，x≥5，所以周期数为5，5个周期后甲乙之间剩余距离为1.5。

3.计算时间。5个周期所用时间5×1h+5个周期后剩余距离所用时间0.5h=5.5h。  

上面的例题讲解中，并没有简单的只给大家一个不等式，而是把做题的思考、分析过程以及步骤做了详细的讲解，便于大家快速理解并掌握该方法。

通过中公教育专家以上的讲解可以明显看出，只要把握住青蛙跳井问题的本质-周期性、周期内有正有负，利用不等式法，只需进行简单的计算，完全可以在一分钟内解决青蛙跳井问题。