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中国剩余定理在公务员考试数量关系中的运用

http://gongwuyuan.eol.cn  来源:  作者:华图教育  2011-04-14    

  一、中国剩余定理的由来

  我国古代数学名着《孙子算经》中,记载这样一个问题: “今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何。”用现在的话来说就是:“有一批物品,3个3个地数余2个,5个5个地数余3个,7个7个地数余2个,问这批物品最少有多少个?” 这个问题的解题思路,被称为“孙子问题”、“鬼谷算”、“隔墙算”、“韩信点兵”等等。

  二、“中国剩余定理”算理及其应用

  明朝数学家程大位把这一解法编成四句歌诀:

  三人同行七十(70)稀,

  五树梅花廿一(21)枝,

  七子团圆正月半(15),

  除百零五(105)便得知。

  歌诀中每一句话都是一步解法:第一句指除以3的余数用70去乘;第二句指除以5的余数用21去乘;第三句指除以7的余数用15去乘;第四句指上面乘得的三个积相加的和如超过105,就减去105的倍数,就得到答案了。即:

  70×2+21×3+15×2-105×2=23

  为什么这样解呢?因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。21是3和7的公倍数,且除以5余1。15是3和5的公倍数,且除以7余1。(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。

  三、“中国剩余定理”的应用

  主要是是针对那些我们学的口诀“公倍数做周期:余同取余,和同加和,差同减差”以外的余数问题的题目。

  【例1】一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

  A.81 B.34

  C.128 D.103

  【答案】B

  【解析】本题属于余数问题。题中3、4、5三个数两两互质。

  则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

  为了使20被3除余1,用20×2=40;

  使15被4除余1,用15×3=45;

  使12被5除余1,用12×3=36。

  然后,40×1+45×2+36×4=274,

  因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。所以选择B选项。

  【例2】一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?

  A.53 B.34

  C.128 D.73

  【答案】A

  【解析】本题属于余数问题。题中3、7、8三个数两两互质。

  则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

  为了使56被3除余1,用56×2=112;

  使24被7除余1,用24×5=120。

  使21被8除余1,用21×5=105;

  然后,112×2+120×4+105×5=1229,

  因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。所以选择A选项。

  【例3】一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。

  A.24B.46

  C.299 D.73

  【答案】C

  【解析】本题属于余数问题。题中5、8、11三个数两两互质。

  则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

  为了使88被5除余1,用88×2=176;

  使55被8除余1,用55×7=385;

  使40被11除余1,用40×8=320。

  然后,176×4+385×3+320×2=2499,

  因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。所以选择C选项。

  【例4】有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人 ?

  A.95B.116

  C.99 D.302

  【答案】D

  【解析】本题属于余数问题。题中9、7、5三个数两两互质。

  则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

  为了使35被9除余1,用35×8=280;

  使45被7除余1,用45×5=225;

  使63被5除余1,用63×2=126。

  然后,280×5+225×1+126×2=1877,

  因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。所以选择D选项。

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