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　　《九章算术》里的盈亏问题

　　《九章算术》是中国流传至今最古老的数学经典着作之一。《九章算术》其实就是研究九个问题的习题集。每道题有问有答有术（解决方法），有的是一题一术，有的是多题一术，有的则是一题多术，全书九章，涉及的都是现实生活中的实际应用问题。第七章是《盈不足》，主要论述盈亏问题的解法。盈，就是有余；亏，就是不足的意思。

　　把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈；如果物体不够分，少了，叫亏。不同的方法分配物体时，经常会产生这种盈亏现象，        凡是研究这一类算法的应用题就叫盈亏问题。

　　盈亏问题的关键是抓住两次分配时所需物体总量的变化．

　　盈亏问题的解题方法是，先求出两次分配方案中所分物体的总数量的差，再求出两次分配方案中每个对象所分物体的总数量的差，用第一个差除以第二个差就得到分配对象数，然后再求出所分物体的总数量。

　　分配对象数＝总差额÷（两次每个分配对象分配数的差）

　　盈亏问题一般分为以下五种情况，对应的公式如下：

　　（1）“一盈一亏型”，一次有多，一次不够：

　　（盈＋亏）÷（两次每个分配对象分配数的差）＝分配对象数

　　（2）“两盈型”，两次都有多：

　　（大盈－小盈）÷（两次每个分配对象分配数的差）＝分配对象数

　　（3）“两亏型”，两次都不够：

　　（大亏－小亏）÷（两次每个分配对象分配数的差）＝分配对象数

　　（4）“一盈一不盈不亏型”，一次有多，另一次刚好分完：

　　盈÷（两次每个分配对象分配数的差）＝分配对象数

　　（5）“一亏一不盈不亏型”，一次不够，另一次刚好分完：

　　亏÷（两次每个分配对象分配数的差）＝分配对象数

　　秦老师为大家提供以下几个例题。

　　例1  秋天到了，培英学校组织秋游，五甲班的同学兴高采烈地做好了各项准备工作。老师让同学们分小组活动。中餐时，大家把各自带的食物拼了起来，明明带了一袋桔子，准备平均分给小组成员。若每人分3个还多11个，若每人分5个又少7个。明明所在的小组有多少人？明明带了多少个桔子？（    ）

　　A. 8，35            B. 9，38            C. 9，37            D. 10，38

　　【解析】B    我们先列出已知条件：每人分3个，多11个；每人分5个，少7个。由条件可以知道，两种分配方案中，明明所在的小组的人数和桔子的个数是不变的。比较两种分配方案，第二种比第一种要多用18个桔子（可以理解为第二种分配方案用去第一种分配方案剩余的11个，还要再拿来7个才够分），这是由于每个人第二种分配方案比第一种分配方案多分了5－3＝2（个）的缘故。即每人多分2个，一共多分18个，由此我们可以求出人数为18÷2＝9（人），桔子数可以根据第一种分配方案求：9×3＋11＝38（个），也可以根据第二种分配方案求：9×5－7＝38（个）。人数：（11＋7）÷（5－3）＝18÷2＝9（人）；桔子个数：9×3＋11＝27＋11＝38（个）或9×5－7＝45－7＝38（个）。故选B。

　　例2  涛涛从家里带来的一包大白兔奶糖，平均分给小组成员，每人分6粒多18粒，每人分8粒多2粒。涛涛的小组共有多少人？这包大白兔奶糖有多少粒？（    ）

　　A. 8，38            B. 9，38            C. 9，37            D. 10，38

　　【解析】A    我们先列出已知条件：每人分6粒，多18粒；每人分8粒，多2粒。比较两种分配方案，第二种比第一种要多用16粒大白兔奶糖（可以理解为第二种分配方案用去第一种分配方案剩余中的16粒，正好还剩2粒），这是由于每粒人第二种分配方案比第一种分配方案多分了8－6＝2（粒）的缘故。即每人多分2粒，一共多分16粒，由此我们可以求出人数为16÷2＝8（人），桔子数可以根据第一种分配方案求：8×6＋18＝66（粒），也可以根据第二种分配方案求：8×8＋2＝66（粒）。人数：（18－2）÷（8－6）＝16÷2＝8（人）；桔子粒数：8×6＋18＝27＋11＝38（粒）或8×8＋2＝45－7＝38（粒）。故选A。

　　思考：如果把题中“每人分8粒多2粒”这一条件改为“每人分8粒正好”应该怎样解答？

　　例3  趁着秋游是大家和大自然亲密接触的机会，红红作为组长，准备了《红领巾倡议书》号召大家爱护环境，节约资源。到公园后，要分给全组同学发给游人。如果，其余每人分20份，还少6份；如果每人分25份，则少78份，红红小组有多少人？红红准备了多少份？ （    ）

　　A. 9，160           B. 11，175          C. 10，178          D. 10，172

　　【解析】D    我们先列出已知条件：其中二人每人分9份，其余每人分20份，少6份；每人分25份，少78份。与例1例2比较，此题两种分配方案的第一种，出现了不是每人一样多的情况。我们可以通过假设，将第一种分配方案转化成每人一样多的情况。即假设每人分20份，没有“其中二人每人分9份”的特殊化情况，则这两人还要增加（份），一共少22＋6＝28（份）。每人分20份，少28份；每人分25份，少78份。由此我们可以求出人数为（78－28）÷（25－20）＝10（人）。进而可以求出红红准备了多少份倡议书。

　　人数：（20－9）×2＋6＝11×2＋6＝22＋6＝28（份），（78－28）÷（25－20）＝505＝10（人）；倡议书份数：2×9＋（10－2）×20－6＝18＋160－6＝178－6＝172（份）或25×10－78＝250－78＝172（份）。故选D。

　　提示：求出了分配对象数量后求分配物体总数量既可以根据方案一，也可以根据方案二解答，我们一般选择其中简便的一种。

　　希望大家在学习的时候，多注意学习方法，善于总结，达到事半功倍的效果。