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　　浅谈数量关系中的排列组合问题

　　排列组合是组合学的最基本概念。排列就是从指定的n个元素中取出指定的m个元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素，而不进行排序。排列组合的核心问题是研究给定的排列组合可能出现的情况总数。排列组合的公式如下：

　　排列：从n个不同的元素中取出m个互不相同的元素并排序，一共有Pnm种取法。排列公式：                          P_n^m=n!/(n－m)!＝n×(n－1)×(n－2) ×…×(n－m＋1)。

　　组合：从n个不同的元素中取出m个互不相同的元素。一共有Cnm种取法。组合公式：

　　C_n^m＝n!/(n－m)!m!＝n×(n－1)(n－2)…(n－m＋1)/ m×(m－1)(m－2)…×1。

　　排列组合中还涉及到两个概念问题。分步与分类。

　　分步乘法原理：完成一件事，一共需要m个步骤。完成第一个步骤有n1种方法，完成第二个步骤有n2种方法…那么完成这件事情，一共有n1×n2×n3×…×nm种方法。

　　分类加法原理：完成一件事，一共有m类不同的方法，每一类方法都能完成这件事。第一类方法中有n1种不同的方法，第二类方法中有n2种不同方法…。那么完成这件事一共有n1＋n2＋n3＋…＋nm种方法。

　　老师分别以公考真题为例来详细介绍这两个概念。

　　例：（2011河南法检真题）从五本不同的书中抽出4本，分给两个同学，每人两本，共有多少种分法？（    ）

　　A. 11B. 30 C. 60D. 120

　　【解析】这是一道典型的排列组合题目。元素总个数为5。事件为从5本书中抽出4本分别给两个同学。完成这件事一共需要两个步骤：从5本书中取出4本；把4本书分给两个同学。第一个步骤：从5本书中取出4本，没有排序，是一个组合问题。故完成第一个步骤有C₅⁴＝5种方法。第二个步骤：把4本书分给两个同学，有顺序，是一个排列问题。故完成第二个步骤有P₄²＝(4×3×2×1)/(2×1)＝12种方法。所以完成这件事情一共有5×12＝60种方法。所以答案为C。

　　例：（2011浙江公考真题）某班同学要订A、B、C、D四种学习报，每人至少订一种，最多订四种，那么每

　　个同学有多少种不同的订报方式？（    ）

　　A．7种 B．12种C．15种D．21种

　　【解析】这是排列组合问题。这件事情为某班的每个同学要订报纸。要求为至少订一种，最多订四种。那么完成这件事情一共分四类：订一种、订两种、订三种、订四种。若订一种有C41＝4种订法；若订两种，则有C42＝6种订法；若订三种，则有C43＝4种订法；若订四种，则有C44＝1种订法。根据分类加法原理，完成这件事一共有4＋6＋4＋1＝15种订法。

　　例：（2011国考真题）甲，乙两个科室各有4名职员，且都是男女各半，现从两个科室中选出4人参加培训，要求女职员比重不得低于一半，且每个科室至少选 1人，问有多少种不同的选法？（    ）

　　A. 67               B. 63               C. 53               D. 51

　　【解析】排列组合问题。事件为"从甲乙两个科室8名职员中选出4名参加培训"。根据"要求女职员的比重不得低于一半"可知，选出的女职员至少有2人，据此可以将事件分为几类。事件"从两个科室8名职员中选出4名参加培训"，共有C84＝70 种选法。不满足条件的有以下四类。第一类选法：选出的女职员为0人，选出的全部是男职员，只有1种选法；第二类选法：选出女职员1 人、男职员3人，即从4名女职员中选出1人，从4名男职员中选出3人，有C₄¹C₄³＝16 种选法；第四类：选出两名女职员，并且选出的2名男职员和2名女职员均在同一个部门，则有2 种选法。因此，满足条件的不同选法共有70－1－16－2＝51 种。

　　老师提醒：排列组合公式是解决排列组合类问题的核心公式。在求解排列组合类问题时，一定要认真审题，明确题目属性，是排列类还是组合类亦或是排列组合混合类问题。其次要抓问题的本质，弄清楚事件及要求，条件等一系列问题。然后就是灵活运用排列组合公式进行做答。